É(Ö?;; ŲGSP! ?Ć˜Nł ۃJ Ū€¤ålŪ€ˆĖ"ålŪ€¤ Ķ$Ū²Ų €Ū²ŲålŪ€¤Ū€¬Ł4Ū€¢Ū€¤ålŪ²Ų Ū€īŚč AÜ ”µmģ  l ` @0Ū­ ;Created by Rob Berkelman from an idea by William F. Finzer..r. crea3Ō UU@‚@“:PUњpјĢ Ń¢|;UC!wė ` @0ŪÕ#E_When does the sketch blow up? Why? Can you construct the logarithmic function from this sketch?ˆmĢHH€Ń™tHm°’’’’’’ńĖķ!` @0Ūtx Œbbµb·d|d}d·dør|r}r·røt}ttµt·uuµtµt·uuµnGsL` V` @0ŪC¤€CønKsPŌ U` @0ŪBšCøŪ ąj’’ D` @0ŪC…€C]š Ÿ C` @0ŪC…€CźNļS B` @0ŪCØClźŲļŻŃ˜ü A` @0ŪCZCl)młć$@€ €A` @0Ū+T|„The ratio of the length of the top line to the bottom line below is the base of the exponential function. You can change it by dragging the point on the bottom line..“Ѭ8ѩ̒  Ń¢|0[‡“|Ń+Äū’ņKßū’ņKßŃü0ŗ€Ü  õA` @0ŪĖ;UThe scale of the x and y axes can be changed by moving the points labelled 1 and -1. ˆŃ+ÄŽ)¦Ž)¦ UU@‚@“:Pk&˜XUѱѱT’  Ń¢|mJs' Ųš  r` @0ŪBšCøC¤€Cø?ŠŲķ' k` @0ŪC…€CC…€C]?ŠéŲķļ'}€ j` @0ŪCZClCØCl?ŠEly}Ԝ nšsŸ> ‚ X` @0Ū CCø nrsw>yč W` @0Ū BčCø éŲķļ'¢ jÕ` @0ŪCžClCFCl?Š ō ł?±; -1` @0Ū C…€Cv’ó ź'ļ,?+cĢ 11` @0Ū C”€Cl ź ļ E1` @0ŪC…€Cl ź ļ@ L2` @0ŪC…€Cl G"Õ22` @0Ū @4ƒ@f(x) =ŒĢŪ~7ہZ Ņ'ü $ŅĪ’@$¬ ō-–@ˆxz@€ŻŲĪ’@ĪĪ!!ˆ¾ŖŗłĮ2.03@!۟Ō’@ü !mJsw  u2` @0ŪBčCøBšCø?ŠmqsŸ  t2` @0ŪCCøBčCø?ŠmJsŸä–  s2` @0Ū BšCøCCø?Šō ł KÕ` @0Ū C‡€Cvę'ė, JÕ` @0Ū C”€ChJrOw$ WÕ` @0Ū BčC¦\raw’ī WÕÕ` @0Ū BčCÆōł n\ KÕÕ` @0ŪCƒ€Cv ī'ó,” JÕÕ` @0ŪC”€CpIJOw$  uÕÕ` @0Ū BčC¦BšC¦?Š[Jaw’ī  uÕÕ` @0Ū BčCÆBšCÆ?Š ółnx  pÕÕ` @0ŪCƒ€CvC‡€Cv?Šå&ó,љč  mÕÕ` @0ŪC”€CpC”€Ch?Šnrsw’ī WÕÕÕ @0Ū BčCøżŖU  pÕÕÕ @0ŪCƒ€C€C‡€C€?Š"åDóJ<  mÕÕÕ @0ŪC£€CpC£€Ch?Š#ßå  pÕÕÕ @0ŪCƒ€CbC‡€Cb?Š"åźóš  mÕÕÕ @0ŪCmCpCmCh?Š# mJsw’ī  uÕÕÕ @0Ū BčCøBšCø?Š!€r…w’ī WÕÕÕÕ@0Ū BčCĮ$ą åoč  QÕÕÕÕ@0ŪC…€Cb 'åĢóŅ0  mÕÕÕÕ@0ŪCOCpCOCh?Š(ÕŪl0  pÕÕÕÕ@0ŪCƒ€CXC‡€CX?Š' “ųŖU  pÕÕÕÕ@0ŪCƒ€C…C‡€C…?Š%åbóh  mÕÕÕÕ@0ŪC²€CpC²€Ch?Š&J…w’ī  uÕÕÕÕ@0Ū BčCĮBšCĮ?Š)ąėåš5 QÕÕÕÕ@0ŪCmCb+ą'å, QÕÕÕÕ@0ŪC”€Cb+å®ó“  mÕÕÕÕ@0ŪC1CpC1Ch?Š,ĖŃH  pÕÕÕÕ@0ŪCƒ€CNC‡€CN?Š-  pÕÕÕÕ@0ŪCƒ€CŠC‡€CŠ?Š.å€ó†  mÕÕÕÕ@0ŪCĮ€CpCĮ€Ch?Š/Ųķź'š v1ÕÕÕ@0ŪCmCbCmBŲ?Š1Ö'Ū, QÕÕÕÕ@0ŪC”€CW¾\2åó–  mÕÕÕÕ@0ŪCCpCCh?Š3ĮĒmģ„  pÕÕÕÕ@0ŪCƒ€CDC‡€CD?Š4!p  pÕÕÕÕ@0ŪCƒ€CC‡€C?Š5åžó¤‰  mÕÕÕÕ@0ŪCŠ€CpCŠ€Ch?Š6źėļš T1ÕÕÕ@0ŪCmCl7ÖEŪJŖ QÕÕÕÕ@0ŪC£€CW¾\8Õå,  vÕÕÕÕ@0ŪC…€CbC”€CW¾\?Š8+åróx  mÕÕÕÕÕ@0ŪBźCpBźCh?Š9·½m¼  pÕÕÕÕÕ@0ŪCƒ€C:C‡€C:?Š:å¼óĀ  mÕÕÕÕÕ@0ŪC߀CpC߀Ch?Š<åėźšŖU QÕÕÕÕÕ@0ŪCmCg41=ŲķD'J~0  yÕÕÕÕÕ@0ŪC£€CW¾\C£€BĆ|ø?Š>åTóZR  mÕÕÕÕÕÕ@0ŪB®CpB®Ch?Š@­³  pÕÕÕÕÕÕ@0ŪCƒ€C0C‡€C0?ŠAåŚóąINAT  mÕÕÕÕÕÕ@0ŪCī€CpCī€Ch?ŠBåĶźŅ QÕÕÕÕÕÕ@0ŪCOCg4Cßźźpt  w1ÕÕÕÕÕ@0ŪCmCg4C…€Cb?Š+CźEļJ…Ø  G1ÕÕÕÕÕ@0ŪC£€ClDå6ó<  mÕÕÕÕÕÕÕ@0ŪBdCpBdCh?ŠE£©H  pÕÕÕÕÕÕÕ@0ŪCƒ€C&C‡€C&?ŠFåųóžћ°  mÕÕÕÕÕÕÕ@0ŪCż€CpCż€Ch?ŠGŲķĢ'ŅŃ x1ÕÕÕÕÕÕ@0ŪCOCg4COBā h?ŠHĮEĘJ@؈ QÕÕÕÕÕÕÕ@0ŪC£€CB÷Į>JåóH  mÕÕÕÕÕÕÕÕ@0ŪAŲCpAŲCh?ŠK™ŸH  pÕÕÕÕÕÕÕÕ@0ŪCƒ€CC‡€C?ŠLåó@€­  mÕÕÕÕÕÕÕÕ@0ŪD@CpD@Ch?ŠM•H  pÕÕÕÕÕÕÕÕՁ0ŪCƒ€CC‡€C?ŠQźĶļŅ›ČD3 V1ÕÕÕÕÕÕÕՁ0ŪCOClNĮcĘhĢ QÕÕÕÕÕÕÕÕՁ0ŪC²€CB÷ĮOĄ&ŪJ5  zÕÕÕÕÕÕÕÕՁ0ŪC”€CW¾\C£€CB÷Į?ŠO8å’śóH  mÕÕÕÕÕÕÕÕՁ0ŪĄ@CpĄ@Ch?ŠPå4ó:Æ,  10ÕÕÕÕÕÕÕՁ0ŪD ĄCpD ĄCh€’’R…‹H  10ÕÕÕÕÕÕÕՁ0ŪCƒ€CC‡€C’ųSčĶķŅїų QÕÕÕÕÕÕÕÕՁ0ŪCOCiHTŲķb'ht aÕÕÕÕÕÕÕÕՁ0ŪC²€CB÷ĮC²€B™ļ‚?ŠUå’Üó’āH  mÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪĀCpĀCh?ŠWåRóXÆ,  mÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪD@CpD@Ch?ŠX† ‹mĢ K2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪC…€C YčÆķ“L*C€ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪC1CiZäĢķšBń²p  y1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪCmCg4COCi?ŠZCźcļhš¤Ń H1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪC²€Cl[å’¾ó’ÄH  mÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪĀ|CpĀ|Ch?Š\åpóvÆ,  mÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪDĄCpDĄCh?Š]!'N  20ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪCƒ€BC‡€B’łY^Ųķ®'“°Cƒ z1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪC1CiC1Bē 4?Š_—cœhŃ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕ0ŪC²€Cā+Uaå’ ó’¦H  mÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪĀŗCpĀŗCh?Šb’½’ĆŖ  30ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCƒ€Ā€C‡€Ā€’łd^źÆļ“Ń W1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪC1Cle—œ†ctio QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCĮ€Cā+f–DĘh  bÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪC£€CB÷ĮC²€Cā+?ŠfO’Y’_  40ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCƒ€Ć$C‡€Ć$’ųh^éÆī“Ń© QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪC1CjĢ_iŲķ€'†ters cÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCĮ€Cā+CĮ€B ˆ¬?ŠjžõžūŖ  50ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCƒ€Ć„C‡€Ć„’śl^é‘ī–z QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCCjĢmē®īŅĻh  a1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCOCiC1CjĢ?ŠmZźļ†is a J1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCĮ€Clnž‘ž—N  60ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCƒ€Ć¶C‡€Ć¶’śo^Ųķ'–ћ° b1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCCjĢCBé˜?ŠpBG†t.+^ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCĮ€B‡Ejrź‘ļ–£Ń X1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCCltBŸG¤22./ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCŠ€B‡EuAbœ†NATE  dÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪC²€Cā+CĮ€B‡E?Šufé‘ī– QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCCkgópvŲķž'¤adiu eÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCŠ€B‡E€CŠ€ĀIu?Šwésīx˜œ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪBźCkgóyčī“²Ń  c1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪC1CjĢCCkgó?ŠymźŸļ¤s th K1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCŠ€ClzŲķr'x d1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪBźCkgóBźBźĻę?Š{’•Ÿ’š¤nd a QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCŠ€ĀŅOw}źsļx Y1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪBźCl~’•½’šĀŃŖ„ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪC߀ĀŅO’”€G¤  fÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCĮ€B‡ECŠ€ĀŅO?Šuźsļx QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪBźCk“š{€Ųķ¼'ĀŃ gÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪC߀ĀŅPC߀Ć_ Ø?ЁźUļZ@ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪB®Ck“šƒčrļ–ƒø  e1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCCkgóBźCk“š?Šƒyź½ļ¶X L1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪC߀Cl„ŲķT'Zwhic f1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪB®Ck“šB®Bėią?Š…ž7½ž<ĀѵP QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪC߀Ććjū‡źUļZ’’Ń Z1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪB®Clˆž7Ūž<ą6 QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCī€Ććjū‰ž6ž’šĀ  hÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCŠ€ĀŅOC߀Ććjū?ЉźUļZ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪB®CkŚņ…ŠŲķŚ'ąa jÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCī€ĆćjüCī€Ä5~?Š‹ź7ļ< QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪBdCkŚņéTļx  g1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪBźCk“šB®CkŚņ?ŠƒźŪļąŚa’4 M1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪCī€ClŽŲķ6'<– h1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕŪBdCkŚņBdBėµä?ŠūsŪūxą’ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕCī€Ä‘lT‹‘ź7ļ<’’€ A2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕBdCl’ūsłūxžN QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕCż€Ä‘lT“ūr¼ž<ą  kÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕC߀ĆćjūCī€Ä‘lT?Š“‰ź7ļ< QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕBdCkķµ”Ųķų'ž j1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕCż€Ä‘lTCż€Ä ,T?Š•źļerÉ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕAŲCkķµ—é6ļZdo C  j1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕB®CkŚņBdCkķµ?Š—źłļž N1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕCż€Cl˜Ųķ' k1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕAŲCkķµAŲBėŪj?Š™õ׳õÜž’’ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕCż€Å"jo•›źļ B2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕAŲClœõ×õÜ  QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@Å"joõÖŚūxž~0Ń  k1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕCī€Ä‘lTCż€Å"jo?Š“źļ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕAŲCköų™žŲķ'Ń m1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@Å"joD@Å)Źo?ŠŸź’ūļCŻĆ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĄ@Cköų”éļ<f  j2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕBdCkķµAŲCköų?Š”—źļt P1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@Cl¢Ųķ’ś'f k2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĄ@CköųĄ@Bėķš?Š£ź|ꁒ¢ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@ŬęŸ„ź’ūļŃ C2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĄ@Cl¦ź|5ź:(x)  QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD ĄÅ¬ę§ź{ųõÜT  n1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕCż€Å"joD@Ŭę?Чź’ūļC* QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĄ@Ckū‹£ØŲķ4': p1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD ĄÅ¬ęD ĄÅÆæę?Š©ź’Żļ’āC’„ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀCkū‹«é’śļC“  m2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕAŲCköųĄ@Ckū‹?Š«”ź5ļ: Q1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD ĄCl¬Ųķ’Ü'’ā C– n2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀCkū‹ĀBė÷?Š­Ó{5Ӏ: QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD ĄĘ2 Ņ©Æź’Żļ’āŃ D2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀCl°Ó{SӀXr» QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@Ę2 ұÓzź:\P  q1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@ŬęD ĄĘ2 Ņ?б§ź’Żļ’āĘõ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀCkżĶ­²ŲķR'X€C“ r1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@Ę2 ŅD@Ę3äŅ?г꒿ļ’ÄBĪ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀ|CkżĶµé’ÜļCŻų@  p2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĄ@Ckū‹ĀCkżĶ?е«źSļXCl" R1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@Cl¶Ųķ’¾'’ÄCŚ  q2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀ|CkżĶĀ|Bėūš?Š·¤įS¤ęXš QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@ʶ9J³¹ź’æļ’ÄCT E2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀ|Clŗ¤įq¤ęvCĶ€ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕDĄĘ¶9J»¤ą4ӀXC™  s1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD ĄĘ2 ŅD@ʶ9J?Š»±ź’æļ’ÄŃŃ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀ|Ckžź·¼Ųķp'vLJT- t1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕDĄĘ¶9JDĄĘ·%J?н꒔É÷öŠ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀŗCkžźæé’¾ļ’āC’š€  r2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀCkżĶĀ|Ckžź?ŠæµźqļvŃ S1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕDĄClĄŲķ’ '’¦ s2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀŗCkžźĀŗBėżŌ?ŠĮF}qF‚vC’ QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕDĄĒ9h½Ć꒔Ė÷ F2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀŗClĤąRF‚vC“  u1ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕD@ʶ9JDĄĒ9h?ŠŻ꒔‘Ń QÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀŗCk’wĮĘé’ ļ’ÄĶ÷’ņ  t2ÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕÕĀ|CkžźĀŗCk’w?ŠČæŪP0’L)’L*’L!’L$’L’L h((h